Родился в станице Упорной в 1900 году. Мобилизован в ряды РККА в 1942 году Упорненским райвоенкоматом. Последнее письмо, по сведениям жены, Зеленской Натальи Степановны, было получено 13 мая 1943 года. Признан пропавшим без вести с августа 1943 года. Имя Андрея Кузьмича Зеленского внесено в 3-й том Книги Памяти Краснодарского края.