Родился в станице Упорной в 1915 году. Мобилизован в Красную Армию в июле 1941 года Фрунзенским горвоенкоматом Киргизской ССР. Направлен в 331-й стрелковый полк 100-й стрелковой дивизии, дислоцировавшийся близ Минска. Со слов отца, Нечесова Михаила Стефановича, обратившегося в Ново-Кубанский райвоенкомат в 1947 году в поисках сына, связь с родными прекратилась в августе 1941 года. Признан пропавшим без вести с апреля 1943 года. Имя Алексея Михайловича Нечесова внесено в 7-й том Книги Памяти Краснодарского края.